Questa volta presento un "trick" banalissimo che riguarda la somma algebrica: l'ho scoperto casualmente questa mattina, ma si può dimostrare facilmente anche senza fare i conti (comunque ho inserito tutti i passaggi):
http://www.scribd.com/doc/38220635/A-Nice-Property
lunedì 27 settembre 2010
venerdì 3 settembre 2010
Sequenza consecutiva-permutazionale e sua primalità
L'argomento che presenterò in questa circostanza è al contempo stimolante, creativo e... matematico. L'avvertenza è solo quella di stare attenti agli effetti assuefattivi che può causare, ma per il resto (IMHO) è una tematica davvero avvincente.
Un matematico di nome Florentin Smarandache, all'inizio degli anni '90, ha pubblicato un libro ("Only problems, not solutions!"), nel quale introduceva oltre 100 problemi (per la maggior parte di teoria dei numeri - trattabili anche senza possedere conoscenze avanzate di matematica -). A questo testo, in seguito, se ne aggiunsero altri dello stesso tipo, molti dei quali pubblicati da coloro che, risolvendo alcuni quesiti, se ne ponevano nel frattempo altri similari.
Poco prima di Ferragosto, mi sono cimentato anch'io in un paio di quei problemi che sono rimasti insoluti in oltre 3 lustri di fervente attività cognitiva. I risultati? Beh, giudicate voi:
http://www.box.net/shared/ocjl4kexpq
Esporrò adesso quella che è, a tutti gli effetti, una nuova sequenza di interi; accompagnata dalla solita, immancabile, "sfilza" di problemi aperti. A chi ha avuto la pazienza di leggere fino in fondo l'articolo (e magari lo ha trovato interessante), propongo un’inedita successione da studiare, costruita nel modo seguente.
Partiamo dalla sequenza consecutiva (Sm_N:=1,12,123,1234,...) in una base qualsiasi, poniamo (per comodità) la consueta base decimale: orbene, la nuova sequenza sarà costituita dall'insieme di tutte le permutazioni possibili di ogni cifra di Sm_N (ovviamente in un ordine ben preciso).
Definiamo dunque la sequenza consecutiva-permutazionale come:
P(r)=1,12,21,123,132,213,231,312,321,1234,1243,1324,1342,
1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,...
E' evidente che tale sequenza contiene (strettamente) al suo interno l'intera sequenza circolare che a sua volta contiene strettamente quella consecutiva. Ha inoltre la caratteristica che ogni termine è più piccolo del precedente e questo ne definisce, in maniera univoca, l’ordinamento.
La sequenza P(r) ne contiene in realtà molte altre, sia note che non, come quella destra-sinistra, quella sinistra-destra, quella invertita, ecc...
Se fissiamo "k", un dato valore della variabile indipendente, abbiamo che la numerosità termini della sequenza P(r<=k) è di poco inferiore alla produttoria, per l'indice "i" che va da 1 a k, di i!
Per esempio, ponendo k=11, abbiamo che i termini della sequenza formati al più da 13 cifre sono la bellezza di 1+2+6+24+120+720+5040+40320+362880+
+39916800+6227020800=6267346713.
Chi se la sentisse può provare a trovare la formula generale, che definisce tale sequenza in funzione della variabile posizionale "i" o di "r" - quella relativa ai gruppi di #Cf! unità (cfr. prima parte del paper menzionato in precedenza) -.
Sarebbe poi interessante individuare quali di questi termini sono numeri primi ecc...
In proposito, possiamo appellarci al risultato evidenziato nella prima parte del paper che ho scritto ed escludere a priori tutti i p(r) che non si trovano in posizione 1+3*n (se consideriamo solo la macrosequenza per r=1,2,3,...), essendo tutti gli altri termini sicuramente divisibili per 3 e dunque composti. Scarteremmo poi tutti quelli che non finiscono per 1,3,7 o 9 e così via.
N.B.
Il criterio di esclusione generale, così come l'ho presentato (per i divisori >5), si applica a tutte le rotazioni di cifre, non solo dei "tasselli", ma non è coniugabile con le restanti permutazioni.
Altri quesiti aperti si trovano all'interno del paper stesso, ma ci tenevo a condividere quest'idea con chiunque altro possiede il mio stesso interesse ed è al contempo tanto scellerato da leggere quello che scrivo :D
Inutile aggiungere che una siffatta sequenza, a prescindere dall'ordine dei termini per un fissato valore di r, è davvero molto generale e le risposte ai problemi che ho poc'anzi introdotto (e agli altri che ho evitato di esplicitare) soddisferebbero (implicitamente ed esaustivamente) anche tutti quelli inerenti le altre innumerevoli sequenze in essa contenute (a cominciare da quella consecutiva)!
Un matematico di nome Florentin Smarandache, all'inizio degli anni '90, ha pubblicato un libro ("Only problems, not solutions!"), nel quale introduceva oltre 100 problemi (per la maggior parte di teoria dei numeri - trattabili anche senza possedere conoscenze avanzate di matematica -). A questo testo, in seguito, se ne aggiunsero altri dello stesso tipo, molti dei quali pubblicati da coloro che, risolvendo alcuni quesiti, se ne ponevano nel frattempo altri similari.
Poco prima di Ferragosto, mi sono cimentato anch'io in un paio di quei problemi che sono rimasti insoluti in oltre 3 lustri di fervente attività cognitiva. I risultati? Beh, giudicate voi:
http://www.box.net/shared/ocjl4kexpq
Esporrò adesso quella che è, a tutti gli effetti, una nuova sequenza di interi; accompagnata dalla solita, immancabile, "sfilza" di problemi aperti. A chi ha avuto la pazienza di leggere fino in fondo l'articolo (e magari lo ha trovato interessante), propongo un’inedita successione da studiare, costruita nel modo seguente.
Partiamo dalla sequenza consecutiva (Sm_N:=1,12,123,1234,...) in una base qualsiasi, poniamo (per comodità) la consueta base decimale: orbene, la nuova sequenza sarà costituita dall'insieme di tutte le permutazioni possibili di ogni cifra di Sm_N (ovviamente in un ordine ben preciso).
Definiamo dunque la sequenza consecutiva-permutazionale come:
P(r)=1,12,21,123,132,213,231,312,321,1234,1243,1324,1342,
1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,...
E' evidente che tale sequenza contiene (strettamente) al suo interno l'intera sequenza circolare che a sua volta contiene strettamente quella consecutiva. Ha inoltre la caratteristica che ogni termine è più piccolo del precedente e questo ne definisce, in maniera univoca, l’ordinamento.
La sequenza P(r) ne contiene in realtà molte altre, sia note che non, come quella destra-sinistra, quella sinistra-destra, quella invertita, ecc...
Se fissiamo "k", un dato valore della variabile indipendente, abbiamo che la numerosità termini della sequenza P(r<=k) è di poco inferiore alla produttoria, per l'indice "i" che va da 1 a k, di i!
Per esempio, ponendo k=11, abbiamo che i termini della sequenza formati al più da 13 cifre sono la bellezza di 1+2+6+24+120+720+5040+40320+362880+
+39916800+6227020800=6267346713.
Chi se la sentisse può provare a trovare la formula generale, che definisce tale sequenza in funzione della variabile posizionale "i" o di "r" - quella relativa ai gruppi di #Cf! unità (cfr. prima parte del paper menzionato in precedenza) -.
Sarebbe poi interessante individuare quali di questi termini sono numeri primi ecc...
In proposito, possiamo appellarci al risultato evidenziato nella prima parte del paper che ho scritto ed escludere a priori tutti i p(r) che non si trovano in posizione 1+3*n (se consideriamo solo la macrosequenza per r=1,2,3,...), essendo tutti gli altri termini sicuramente divisibili per 3 e dunque composti. Scarteremmo poi tutti quelli che non finiscono per 1,3,7 o 9 e così via.
N.B.
Il criterio di esclusione generale, così come l'ho presentato (per i divisori >5), si applica a tutte le rotazioni di cifre, non solo dei "tasselli", ma non è coniugabile con le restanti permutazioni.
Altri quesiti aperti si trovano all'interno del paper stesso, ma ci tenevo a condividere quest'idea con chiunque altro possiede il mio stesso interesse ed è al contempo tanto scellerato da leggere quello che scrivo :D
Inutile aggiungere che una siffatta sequenza, a prescindere dall'ordine dei termini per un fissato valore di r, è davvero molto generale e le risposte ai problemi che ho poc'anzi introdotto (e agli altri che ho evitato di esplicitare) soddisferebbero (implicitamente ed esaustivamente) anche tutti quelli inerenti le altre innumerevoli sequenze in essa contenute (a cominciare da quella consecutiva)!
martedì 31 agosto 2010
Sequenze matematiche (prima parte)
In questa sorta di paper non-specialistico dimostro una proprietà generale di alcune particolari sequenze numeriche, inclusa quella consecutiva o di Smarandache.
Nella seconda parte dello studio approfondirò alcuni elementi qui solamente tratteggiati e fornirò una formula generale in risposta ad un altro quesito aperto, riguardante il medesimo argomento:
http://www.box.net/shared/rgtq3s45zx
Buona lettura :)
Nella seconda parte dello studio approfondirò alcuni elementi qui solamente tratteggiati e fornirò una formula generale in risposta ad un altro quesito aperto, riguardante il medesimo argomento:
http://www.box.net/shared/rgtq3s45zx
Buona lettura :)
giovedì 22 luglio 2010
Goniometry & original solutions (how to complicate simple problems)
This is a very simple experiment I did yesterday afternoon to show a couple of different approaches to a generic problem involving goniometry. I think it could help high school students to think in multiple ways:
http://www.box.net/shared/g8z5mllmvg
------------
La breve guida che ho inserito è in inglese (l'ho scritta in fretta e furia, quindi è anche piena di errori morfo-sintattici - chiedo venia -), ma è perfettamente comprensibile anche per chi non conosce minimamente la lingua... si tratta solo di applicare le formule osservando le figure che ho inserito :)
Consiglio di dar un'occhiata, in particolare, agli sudenti del terzo e del quarto anno delle superiori.
Saluti a tutti.
http://www.box.net/shared/g8z5mllmvg
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La breve guida che ho inserito è in inglese (l'ho scritta in fretta e furia, quindi è anche piena di errori morfo-sintattici - chiedo venia -), ma è perfettamente comprensibile anche per chi non conosce minimamente la lingua... si tratta solo di applicare le formule osservando le figure che ho inserito :)
Consiglio di dar un'occhiata, in particolare, agli sudenti del terzo e del quarto anno delle superiori.
Saluti a tutti.
venerdì 16 luglio 2010
"Il sapiente è colui che..."-->"Cogito ergo dubito"
Sono profondamente convinto che uno degli indicatori più attendibili dell'intelligenza ("latu sensu") sia... il dubbio. Sovente ho attraversato queste fasi sequenziali:
Curiosità-->apprendimento (da autodidatta)-->illusione di conoscenza-->attivazione del mio senso critico-->messa in discussione delle verità acquisite--...>constatazione che buona parte di esse rimane inconfutabile (ma non sempre)-->tutto il resto è puro DUBBIO (e il dubbio raramente è anche semplice)!
P.S.
Chiunque fosse interessato a ricevere le soluzioni del quiz sui "numeri primi posizionali" deve farmene esplicitamente richiesta o soltanto provare a rispondere...
Curiosità-->apprendimento (da autodidatta)-->illusione di conoscenza-->attivazione del mio senso critico-->messa in discussione delle verità acquisite--...>constatazione che buona parte di esse rimane inconfutabile (ma non sempre)-->tutto il resto è puro DUBBIO (e il dubbio raramente è anche semplice)!
P.S.
Chiunque fosse interessato a ricevere le soluzioni del quiz sui "numeri primi posizionali" deve farmene esplicitamente richiesta o soltanto provare a rispondere...
mercoledì 30 giugno 2010
Numeri primi posizionali...
Visto il periodo, ho pensato di proporvi una serie di giochini matematici (inventati da me) per tenere in esercizio la mente e divertirsi:
I quesiti ruoteranno tutti intorno al concetto di ciò che ho chiamato "numero primo posizionale".
Si tratta, banalmente, di numeri primi che si trovano a loro volta nelle posizioni (sequenziali) associate ad altri numeri primi. Ad esempio il 17 è un numero primo posizionale, in quanto occupa la settima posizione nella griglia dei numeri primi (e 7 è a sua volta un numero primo).
Continuando su questa strada, possiamo definire anche dei numeri primi posizionali di ordine superiore: quelli del secondo ordine sarebbero allora i numeri primi posizionali del primo ordine che si trovano in posizioni a loro volta prime... e così via.
Ovviamente, partiamo dall'assunto che 1 non è un numero primo e quindi i numeri primi <100 saranno i seguenti: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
Domanda 1:
Qual'è (se ce n'è uno) il numero primo posizionale di ordine massimo tra quelli elencati? Di che ordine è?
Domanda 2:
Esiste un numero primo posizionale (tra tutti i numeri naturali) di ordine massimo in assoluto? Motivare la risposta (per chi volesse, può provare a fornire una dimostrazione rigorosa).
Domanda 3 (-consiglio di leggere attenatamente il testo-):
Trovare (se esistono) numeri primi tali che sono sia numeri primi posizionali di ordine n, sia numeri primi elevati alla n (motivando la risposta).
Domanda 4:
Se definisco come numeri primi posizionali "cubici", quei numeri primi che occupano le posizioni corrispondenti al "cubo" (^3) di un altro numero primo, quale sarà il più piccolo numero primo posizionale quadratico se NON consideriamo 1 come il quadrato di sé stesso?
Domanda bonus (facile e per tutti):
Senza scrivere niente, facendo tutto a mente, se x è un numero primo, il risultato della seguente espressione sarà pari o dispari? Sapreste anche dirmi qual'è il risultato esatto?
((x-3)/2)*2+5=???
Tra l'altro, si può notare come la scrittura sopra risponda anche alla domanda (che ho evitato di inserire): "Se x fosse un numero primo a vostra scelta, come potreste fare per scrivere un altro numero primo, utilizzando una e una sola volta tutti e 4 gli operatori aritmetici (+,-,* e /) e impiegando solo i numeri primi diversi dall'unità?"
Chi se la sentisse di rispondere (anche a una sola delle domande) può scrivere la soluzione tra i commenti. Mi farebbe veramente piacere se provassero a cimentarsi in queste prove pure degli adolescenti brillanti, perché, in fondo, questo blog è anche dedicato a loro.
Un saluto e buona estate!
I quesiti ruoteranno tutti intorno al concetto di ciò che ho chiamato "numero primo posizionale".
Si tratta, banalmente, di numeri primi che si trovano a loro volta nelle posizioni (sequenziali) associate ad altri numeri primi. Ad esempio il 17 è un numero primo posizionale, in quanto occupa la settima posizione nella griglia dei numeri primi (e 7 è a sua volta un numero primo).
Continuando su questa strada, possiamo definire anche dei numeri primi posizionali di ordine superiore: quelli del secondo ordine sarebbero allora i numeri primi posizionali del primo ordine che si trovano in posizioni a loro volta prime... e così via.
Ovviamente, partiamo dall'assunto che 1 non è un numero primo e quindi i numeri primi <100 saranno i seguenti: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
Domanda 1:
Qual'è (se ce n'è uno) il numero primo posizionale di ordine massimo tra quelli elencati? Di che ordine è?
Domanda 2:
Esiste un numero primo posizionale (tra tutti i numeri naturali) di ordine massimo in assoluto? Motivare la risposta (per chi volesse, può provare a fornire una dimostrazione rigorosa).
Domanda 3 (-consiglio di leggere attenatamente il testo-):
Trovare (se esistono) numeri primi tali che sono sia numeri primi posizionali di ordine n, sia numeri primi elevati alla n (motivando la risposta).
Domanda 4:
Se definisco come numeri primi posizionali "cubici", quei numeri primi che occupano le posizioni corrispondenti al "cubo" (^3) di un altro numero primo, quale sarà il più piccolo numero primo posizionale quadratico se NON consideriamo 1 come il quadrato di sé stesso?
Domanda bonus (facile e per tutti):
Senza scrivere niente, facendo tutto a mente, se x è un numero primo, il risultato della seguente espressione sarà pari o dispari? Sapreste anche dirmi qual'è il risultato esatto?
((x-3)/2)*2+5=???
Tra l'altro, si può notare come la scrittura sopra risponda anche alla domanda (che ho evitato di inserire): "Se x fosse un numero primo a vostra scelta, come potreste fare per scrivere un altro numero primo, utilizzando una e una sola volta tutti e 4 gli operatori aritmetici (+,-,* e /) e impiegando solo i numeri primi diversi dall'unità?"
Chi se la sentisse di rispondere (anche a una sola delle domande) può scrivere la soluzione tra i commenti. Mi farebbe veramente piacere se provassero a cimentarsi in queste prove pure degli adolescenti brillanti, perché, in fondo, questo blog è anche dedicato a loro.
Un saluto e buona estate!
martedì 23 febbraio 2010
Bambini plus-dotati e problemi scolastici (Parte2)
Sono lieto di annunciare - ai 3 lettori di questo blog - la nascita di una high IQ society (la sPIqr) fondata dal sottoscritto (ma scaturita da un'idea comune). Sarà una società mista in italiano/inglese, ma a carattere internazionale...in fondo la problematica che sottende questo genere di riflessioni è comune un po' a tutti i Paesi. Inoltre credo che sia particolarmente utile ricevere feedback e consigli da persone che vivono/hanno vissuto all'interno di ordinamenti scolastici differenti dal nostro.
Questo è l'indirizzo del sito:
http://spiqrsociety.webs.com/index.htm/
I requisiti per la qualificazione come membri pieni sono estremamente selettivi, ma invito tutti, specie se italiani, ad aderire (sia come prospective members che come semplici amici che condividono l'idea di fondo del gruppo).
Ho aggiunto altresì una sezione "guestbook" dove chiunque può dire la propria e lasciare critiche (si spera costruttive), opinioni o anche un semplice saluto.
Marco
Questo è l'indirizzo del sito:
http://spiqrsociety.webs.com/index.htm/
I requisiti per la qualificazione come membri pieni sono estremamente selettivi, ma invito tutti, specie se italiani, ad aderire (sia come prospective members che come semplici amici che condividono l'idea di fondo del gruppo).
Ho aggiunto altresì una sezione "guestbook" dove chiunque può dire la propria e lasciare critiche (si spera costruttive), opinioni o anche un semplice saluto.
Marco
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