Estensione del problema di Monty Hall e caso generale!

Ragazzi, ho appena dimostrato che il problema di Monty Hall, nella sua variante in cui Monty può sia parteggiare per il concorrente (tenta di favorirlo aprendo porte con le capre) o per la produzione (vuole aprire subito la porta che cela l'automobile per farlo perdere) è SOGGETTIVO!! Posso dimostrare che, a priori, non sapendo se Monty (il conduttore) parteggia per te, concorrente, o per la produzione del programma, è sia conveniente cambiare che non cambiare. Tutto dipende da che peso tu assegni all'eventualità "Monty mi vuol far vincere l'auto" (e quindi fissi anche il suo opposto). Qualora il conduttore non sappia dove si trova l'auto hai le stesse probabilità di vincere sia cambiando che non cambiando la scelta iniziale (ampiamente dimostrato sia dal sottoscritto che da Gaetano Morelli). Proof: 1) Se Monty sa dove sta l'auto e parteggia per i produttori, tu vinci se e solo se "scegli la porta con l'auto e non cambi", viceversa lui la aprirà e tu perderai prima di poter cambiare!-->conviene non cambiare porta (33% di possibilità di vincere). 2) Se Monty sa dove sta l'auto e parteggia per te (concorrente), abbiamo il problema di Monty Hall classico - quello per cui tanti idolatrano insensatamente la Vos Savant. 3) Se Monty NON sa dove sta l'auto (sia che parteggi per te sia che parteggi per i produttori) hai sempre il 33% di possibilità di vincere l'automobile, MA queste salgono al 50% se condizioni l'evento con l'ipotesi aggiuntiva "Monty apre la porta con una capra". Ora, posto che a noi Monty non ci dice se è "buono o cattivo" e non sappiamo neppure se lui sappia dove sia l'auto o meno (qualora nelle puntate precedenti del programma lui avesse aperto le porte con l'auto potremmo inferire che non lo sappia o che lo sappia ma voglia farci perdere, ecc...), sta a noi immaginare se pensiamo che lui intenda favorirci o meno. Dunque (per esempio): Se per noi lo sa ed al 70% è "cattivo", ci conviene non cambiare... infatti, qualora fosse cattivo sul serio e ci mostrasse una capra, noi avremmo vinto di certo (100 volte su 100). Viceversa raddoppieremmo le chance di vittoria cambiando (passando dal 33.33% al 66.67%)... che è il problema di Monty Hall classico. Marco Ripà P.S. Tale idea è per esempio estendibile al gioco dei pacchi (che piace tanto a mia nonna)... è anzi, molto più semplice. Si calcola il valor medio dei pacchi all'inizio... si gioca, poi ti propongono: "Vuoi cambiare pacco?" Lasciando perdere l'elemento soggettivo/emozionale, basta ricalcolarsi il nuovo valor medio... se è salito (magari sensibilmente) è statisticamente doveroso cambiare, viceversa no. Qui non si parla di strategia e livelli di pensiero... è un mero discorso statistico. Se però uno ci mette l'opzione "il cambio possono propormelo a loro piacimento" il quadro si complica e dovrei spendere molte più righe per discutere i possibili macro-scenari. Comunque, in breve, matematicamente è corretto cambiare se la scelta (di cambio/inizio gioco) era corredata da una media-pacchi inferiore a quella attuale. Tanto per divertimento, propongo una strategia vincente relativa al gioco dei pacchi: -Immaginiamo che tutti i 20 concorrenti siano d'accordo tra loro, cioè stipulino sottobanco un patto/contratto vincolante in base al quale le vincite confluiscano in un fondo comune e ognuno (alla fine) avrà 1/20 del totale (un po' come ne "Lo Hobbit" per la compagnia di Thorin). -Si usa il criterio di gioco suddetto e non si accettano mai offerte intermedie... si gioca fino alla fine, si cambia quando la media dei pacchi sale "abbastanza", e si vince quello che c'è nel pacco dopo aver aperto tutti gli altri. Si dovrebbe stare attenti a quante volte il cambio viene proposto... ma è una finezza di cui ora non discuterò. -Con una probabilità altissima (verosimilmente 99.9...%) il fondo comune conterrà PIU' di 20*(media iniziale pacchi) euro e quindi ognuno vincerà ben più dei 55000 euro (o quanti sono) che ci si aspetterebbe. E, in ogni caso, così si abbatterebbe tantissimo la varianza e tutti se ne tornerebbero a casa felici (tutti tranne la produzione). Certamente ciò sarà vietato dal regolamento e in più decreterebbe la morte di un noioso programma pre-serale... però il caso di scuola è quello che ho poc'anzi descritto

Formula generatrice di numeri primi e numeri primi di Mersenne

Come si dimostra che la formula [2^(2^p)]/2-1 non produce (solo) numeri primi, facendo pochissimi calcoli (http://vixra.org/pdf/1106.0046v1.pdf)? Risoluzione: si tratta di un sottoinsieme dei numeri di Mersenne... è stato dimostrato che essi POSSONO essere primi se e solo se l'esponente è a sua volta primo. La precedente può essere riscritta come 2^(2^p-1)-1, ergo l'esponente è 2^p-1 e dunque basta provare che 2^p-1 non è primo, per qualche p. Io prendo p:=23 e ottengo 47×178481... niente, il Graal della teoria dei numeri dovrà attendere ancora!

Poesie nerd

Ecco due componimenti estemporaneri (ho impiegato per ognuno di essi all'incirca un'ora) un po' "nerd". La lunghezza dei versi è dettata da un numero di sillabe ancorato alle sequenze sottostanti: per il primo quella di Fibonacci e per il secondo la serie dei numeri primi.


Canone classico (Marco Ripà 19-08-2011) (1,1,2,3,5,8,13,21,34)

Fu
In
Belli
Orpelli
Nascosta quell’
Accattivante sequenza
Contenente le rispondenze naturali:
Conchiglie, petali di rose, corolle di fiori, i rami, le foglie.
Infine anche l’uomo si piegò all’aurea proporzione; Fidia scolpì e Ictino eresse il Partenone.



Atomi sfuggenti (Marco Ripà 19-08-2011) (2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31)

Nati
Un giorno
Mentre un astro
Esplodeva lucente,
Rischiarano le nottate di tutti
I sognatori che tentano invano di
Penetrarne il motivo di fondo. Quella melodia
Riemann ascoltava estasiato, senza però escogitare
In quale modo si dimostra come mai gli zeri della sua funzione “zeta”
Mai si scostano dalla rotta ad essi imposta. Molti e più ci proveranno in avvenire.
Intanto che le stelle cadono e risorgono, i primi ammiccano a una speme mal riposta.

Ciclopi vagabondi

Ecco una rivisitazione personale di un famoso problema di logica. Credo di averlo reso anche un pochino più interessante... spero vi piaccia e soprattutto spero di ricevere delle risposte :D

Tanto tempo fa, in una galassia lontana lontana, c’era un piccolo pianeta (molto molto piccolo). Nonostante ciò i giorni erano come i nostri ed era popolato da alieni ciclopi. Ogni alieno aveva l’occhio con l’iride di un colore ben definito: 50 avevano l’occhio giallo, 60 azzurro, 70 marrone e 80 rosso.
Nessuno, al momento in cui la nostra storia inizia, ha idea di che tipo di occhio abbia e nessuno ha abbandonato il pianeta. Ogni giorno, all’ora XY:ZZ (sempre la stessa), transitava un’astronave… il supercomputer che la guidava, al momento del suo arrivo, poneva la medesima richiesta: “Chiunque abbia la certezza di conoscere il colore del proprio occhio si imbarchi all’istante e lasci per sempre il pianeta. Chi non ha la certezza di conoscelo rimanga sul pianeta”.
Ogni ciclope che capisce di che colore ha l’occhio si imbarca e gli altri rimangono. Ciascuno di essi può vedere tutti gli altri, sapere quanti ce ne sono in ogni istante e di che colore hanno l’occhio (eccetto il colore del suo). Tutti i ciclopi conoscono le regole di questa pagina e sanno che ogni ciclope le conosce. La particolarità dei ciclopi è che ognuno di essi, oltre a saper contare, ha una logica perfetta (in confronto i vulcaniani sono dei rimbambiti). Sul pianeta non ci sono specchi e nessun abitante può comunicare in nessun modo con gli altri (non ci sono proprio possibilità, non comunicheranno mai… possono solo guardarsi l’un l’altro). Essendo il pianeta microscopico e possedendo una vista eccellente, ognuno di loro può osservare istantaneamente tutti gli altri ed elaborare i dati in un tempo praticamente nullo.
Tutti i ciclopi sanno che una sola volta nella vita dell’Universo, il meteorite della Verità colliderà con il loro pianeta. Esso conterrà un unico messaggio e tutti i ciclopi credono con assoluta certezza che esso sia vero senza alcuna possibilità di errore.
Un bel giorno, esattamente a metà del periodo che trascorre tra una visita dell’astronave e la successiva, il meteorite si schianta fragorosamente e si apre. Mostra una stele che contiene un’informazione che tutti possono capire e che tutti sanno che tutti capiranno all’istante. La stele dice testualmente: “Su questo pianeta c’è almeno un ciclope con l’occhio azzurro!”.
Qualcuno lascerà mai il pianeta. E se sì… in che data?
N.B. Non sono permessi trucchi di alcun tipo, niente riflessi, ammiccamenti, gesti, specchi, comunicazioni segrete, bandiere colorate, luci e chi più ne ha più ne metta. Le sole e uniche informazioni che ogni abitante possiede (e tutti le possiedono) sono i colori dell’occhio di tutti gli altri ciclopi eccetto il proprio. Non è permesso alcun tipo di comunicazione!!

Buon divertimento,
Marco

P.S.
E se sul pianeta i ciclopi avessero l’occhio o azzurro (60 ciclopi) o marrone (70 ciclopi) - niente occhi rossi o gialli -? Qualcuno lascerebbe il geoide? Se sì quanti e in che data?

Marco's sequences in OEIS

Ecco la lista (aggiornata al 16/03/2011) delle sequenze da me composte che sono entrate a far parte della "On-Line Encyclopedia of Integer Sequences" (OEIS appunto).

Per consultarle è sufficiente inserire nell'url del browser https://oeis.org/ e aggiungere la sequenza alfanumerica della sequenza da visionare:
A176942, A180346, A181073, A181129, A187602, A187603, A187604, A187605, A187613,
A187628, A187636. Sono anche co-autore di A181373, mentre in A068710 mi sono guadagnato una piccola citazione).

Ad ognuno le sue stranezze, insomma (anche se le mie sono tante e parecchio bizzarre).

Numeri "tetraedrici"

Fino a pochissimi giorni fà ignoravo l'esistenza dei "numeri tetraedrici" (http://oeis.org/A000292); tuttavia si sono rivelati decisamente interessanti.
Al riguardo ho scritto addirittura un breve paper (pubblicato anche nella sezione Bookshelf del portale "rudimatematici"). La versione definitiva (in italiano) la potete consultare qui: http://www.scribd.com/doc/50204022/Una-curiosa-proprieta
Per chi volesse, ho anche frettolosamente tradotto la stessa in inglese (più maccheronico del solito): http://www.scribd.com/doc/50474167/On-the-Relation-Between-Summations-and-Tetrahedral-Numbers

Nel paper spiego che tipo di relazione intercorre tra questi fantomatici numeri tetraedrici e una certa classe di sommatorie doppie (serie di k elementi i cui termini sono essi stessi delle sommatorie). Il bello della matematica è che spesso, a discapito delle tecniche risolutive canoniche, è possibile (con un pizzico di creatività) inventarsi un metodo personalizzato per giungere alla soluzione (che auspicabilmente è una sola).
Nel mio caso particolare, più è contorta la metodica che invento tanto più mi diverto a svilupparla...

Oeis A180346

Esiste una gigantesca banca dati nel web che raccoglie un vastissimo campionario delle sequenze di interi più interessanti (sono in totale quasi 200000) mai passate per la testa di qualcuno; la maggior parte di esse è apparsa in qualche lavoro "scientifico". Si parte dalla famosissima sequenza di Fibonacci, passando per quella dei numeri primi e intersecando addirittura quelli dispari generici... e dove si arriva? Ovviamente alla più inutile di tutte, ma alla quale sono legato dal semplice fatto che è la prima a riportare il mio nome e soprattutto poiché verrà ampiamente sviscerata nel prossimo paper che sto scrivendo. Eccovela in anteprima:

http://oeis.org/A180346